高校数学「高次方程式」「3次方程式」「因数定理」
高校数学「高次方程式」「3次方程式」「因数定理」
x^3-3x^2+2=0という方程式を解くことを考えます。
式をぼんやり見ていると、
「掛けて2,足して-3だから、-1と-2でしょ?因数分解して(x-1)(x-2)だから、x=1,2で完成!簡単!」
などとやってしまいがちです。
もし、x^2-3x+2=0ならば、もちろんそれで正解ですが、この式はx^3-3x^2+2=0です。3次式です。
3次式はそのように因数分解することはできません。
ではどうすればいいかと言うと、3次方程式や4次方程式では、「因数定理」を使うのが標準的ですね。
「f(a)=0ならば、f(x)は(x-a)を因数にもつ」というやつです。
これを使って、因数を見つけて、その因数で割り算をして次数を下げていく。という方針です。
たとえばx^3-3x^2+2に、x=1を代入してみると、
1-3+2=0
で、ちょうど都合のいいことに?ゼロになりました。
ということは、x^3-3x^2+2は、x-1を因数にもつことがわかります。
ならば、x-1で割れば割り切れるのですね。
割ってみると、(x^3-3x^2+2)÷(x-1)=x^2-2x-2となります。
つまり、
x^3-3x^2+2=(x-1)(x^2-2x-2)
であることがわかりました。つまり、
x^3-3x^2+2=0
(x-1)(x^2-2x-2)=0
です。
この式が成り立つためには、それぞれの括弧の中がゼロになる必要があるので、
x-1=0,x^2-2x-2=0ですね。
あとはこれらを解けば、もとの3次方程式x^3-3x^2+2=0の解が得られる。というわけです!
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プロ家庭教師の江間です。 AE個別学習室(えまじゅく)
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