本日配信のメルマガ。2019年大学入試センター試験数学１Ａ第４問 整数の性質
本日配信のメルマガでは、2019年大学入試センター試験数学１Ａ第４問の[イウ]までを解説します。
【高校数学】読むだけでわかる！センター数学の考え方
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■ 問題
2019年センター試験数１Ａより
第４問
(1) 不定方程式
４９ｘ－２３ｙ＝１
の解となる自然数ｘ，ｙの中で、ｘの値が最小のものは
ｘ＝[ア]，ｙ＝[イウ]
であり、すべての整数解は、ｋを整数として
ｘ＝[エオ]ｋ＋[ア]，ｙ＝[カキ]＋[イウ]
と表せる。
(2) ４９の倍数である自然数Ａと２３の倍数である自然数Ｂの組(Ａ，Ｂ)を考える。
ＡとＢの差の絶対値が１となる組(Ａ，Ｂ)の中で、Ａが最小になるのは
(Ａ，Ｂ)＝(４９×[ク]，２３×[ケコ])
である。また、ＡとＢの差の絶対値が２となる組(Ａ，Ｂ)の中で、Ａが最小になる
のは
(Ａ，Ｂ)＝(４９×[サ]，２３×[シス])
である。
(3) 連続する三つの自然数ａ，ａ＋１，ａ＋２を考える。
ａとａ＋１の最大公約数は１
ａ＋１とａ＋２の最大公約数は１
ａとａ＋２の最大公約数は１または[セ]
である。
また、次の条件がすべての自然数ａで成り立つような自然数ｍのうち、最大の
ものはｍ＝[ソ]である。
条件：ａ(ａ＋１)(ａ＋２)はｍの倍数である。
(4) ６７６２を素因数分解すると
６７６２＝２×[タ]×７^[チ]×[ツテ]
である。
ｂをｂ(ｂ＋１)(ｂ＋２)が６７６２の倍数となる最小の自然数とする。
このとき、ｂ，ｂ＋１，ｂ＋２のいずれかは７^[チ]の倍数であり、また、
ｂ，ｂ＋１，ｂ＋２のいずれかは[ツテ]の倍数である。したがって、
ｂ＝[トナニ]である。
※分数は(分子)／(分母)、上付き・下付きの数字は半角で、ｘの２乗はｘ^2で、
マーク部分の□は[ ]、マル１は{1}で表記しています。
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■ 解説目次
◆１ 全部解いてから選択が理想だが・・・
◆２ 特殊解はひたすら代入でもＯＫ！
◆３ ｙが自然数になる場合を探して
(以下略)
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■ 解説
◆１は省略します。
◆２ 特殊解はひたすら代入でもＯＫ！
では今回の問題です。
今回はまず最初に不定方程式の解を尋ねる問題が出題されました。
「４９ｘ－２３ｙ＝１の解となる自然数ｘ，ｙの中で、ｘの値が最小のもの」
を聞いていますね。
このような特定の解のことを「特殊解」と呼びます。
特殊解の求め方の一つは、「とにかくいろいろ代入してみる」です！(笑)
もちろん、ただ単に闇雲に代入してもなかなか解決しません。
まずここでは、闇雲にやるよりは少しだけ効率的に探す方法でやってみたいと
思います。
それは
「ｘ，ｙの係数で大きいのはｘの４９なので、ｘに１から順に数字を入れて
そのときのｙの値を求めてみる」
という方法です。
「そんな原始的な・・・」と思う人も多いと思いますが、特殊解を一つ出すだけ
なら、むしろコレが一番簡単な場合も多いです。
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◆３ ｙが自然数になる場合を探して
では実際にやってみましょう！
ｘ＝１のとき
４９－２３ｙ＝１
－２３ｙ＝－４８
ｙ＝４８／２３
問題の設定により、ｘ，ｙは自然数なので、ｙの解が自然数でない場合は不適です。
つまり、ｘ＝１のときはこの不定方程式を満たす解は得られない。ということが
できます。以下同様にやってみると・・・
つづく
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