本日配信のメルマガ。2019年センター数学２Ｂ第４問ベクトル
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■ 問題
2019年大学入試センター試験数学２Ｂより
第４問
四角形ＡＢＣＤを底面とする四角錐ＯＡＢＣＤを考える。四角形ＡＢＣＤは、
辺ＡＤと辺ＢＣが平行で、ＡＢ＝ＣＤ，∠ＡＢＣ＝∠ＢＣＤを満たすとする。
→ → → → → →
さらに、ＯＡ＝ａ，ＯＢ＝ｂ，ＯＣ＝ｃとして
→ → →
|ａ|＝１，|ｂ|＝√３，|ｃ|＝√５
→ → → → → →
ａ・ｂ＝１，ｂ・ｃ＝３，ａ・ｃ＝０
であるとする。
(1) ∠ＡＯＣ＝[アイ]°により、三角形ＯＡＣの面積は√[ウ]／[エ]である。
→ → → →
(2) ＢＡ・ＢＣ＝[オカ]，|ＢＡ|＝√[キ]，|ＢＣ|＝√[ク]であるから、
∠ＡＢＣ＝[ケコサ]°である。さらに、辺ＡＤと辺ＢＣが平行であるから、
→ →
∠ＢＡＤ＝∠ＡＤＣ＝[シス]°である。よって、ＡＤ＝[セ]・ＢＣであり
→ → → →
ＯＤ＝ａ－[ソ]・ｂ＋[タ]・ｃ
と表される。また、四角形ＡＢＣＤの面積は([チ]√[ツ])／[テ]である。
(3) 三角形ＯＡＣを底面とする三角錐ＢＯＡＣの体積Ｖを求めよう。
→ → → →
３点Ｏ，Ａ，Ｃの定める平面α上に、点ＨをＢＨ⊥ａとＢＨ⊥ｃが成り立つ
→
ようにとる。|ＢＨ|は三角錐ＢＯＡＣの高さである。Ｈはα上の点であるから、
→ → →
実数ｓ，ｔを用いてＯＨ＝ｓ・ａ＋ｔ・ｃの形に表される。
→ → → →
ＢＨ・ａ＝[ト]，ＢＨ・ｃ＝[ト]により、ｓ＝[ナ]，ｔ＝[ニ]／[ヌ]である。
→
よって、|ＢＨ|＝√[ネ]／[ノ]が得られる。したがって、(1)により、
Ｖ＝[ハ]／[ヒ]であることがわかる。
(4) (3)のＶを用いると、四角錐ＯＡＢＣＤの体積は[フ]Ｖと表せる。さらに、
四角形ＡＢＣＤを底面とする四角錐ＯＡＢＣの高さは√[ヘ]／[ホ]である。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2で、ベクトルの矢印は一部省略、
マル１は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説目次
◆１ ベクトルの成分と大きさ
◆２ ベクトルの足し算とかけ算
◆３ まずは設定を確認
◆４ 内積がゼロ→９０°
(以下略)
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■ 解説
◆１，２は省略します。
◆３ まずは設定を確認
では今回の問題です。
まずは問題の内容を確認しましょう！
四角形ＡＢＣＤを底面とする四角錐ＯＡＢＣＤを考える。四角形ＡＢＣＤは、
辺ＡＤと辺ＢＣが平行で、ＡＢ＝ＣＤ，∠ＡＢＣ＝∠ＢＣＤを満たすとする。
→ → → → → →
さらに、ＯＡ＝ａ，ＯＢ＝ｂ，ＯＣ＝ｃとして
→ → →
|ａ|＝１，|ｂ|＝√３，|ｃ|＝√５
→ → → → → →
ａ・ｂ＝１，ｂ・ｃ＝３，ａ・ｃ＝０
であるとする。
四角錐ＯＡＢＣＤは、四角形ＡＢＣＤが底面で、Ｏが頂点ですね。
そして、ＡＤ平行ＢＣ，ＡＢ＝ＣＤ，∠ＡＢＣ＝∠ＢＣＤだそうです。
→ → →
そして頂点Ｏから底面のＡ，Ｂ，Ｃへのベクトルをａ，ｂ，ｃとしているようです。
そしてこれらの３つのベクトルの内積が与えられている。という設定です。
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◆４ 内積がゼロ→９０°
では、最初の設問です。
∠ＡＯＣの大きさを聞いています。
唐突のように見えるかも知れませんが、ここまでの設定から論理の飛躍なく、
求めることができるからまず最初に聞いている。と考えると、気づきやすいと
思います。
ベクトルに関して、角度を使う事柄は何があるかといえば・・・
→ →
内積ですね！ａ，ｂのなす角をθとすると、
→ → → →
ａ・ｂ＝|ａ||ｂ|ｃｏｓθ
ｃｏｓθをかけているので、θ＝９０°のとき、内積の値はゼロになります。
→ → → →
今回の問題では、「ａ・ｃ＝０」とあるので、ａとｃのなす角は９０°で・・・
(以下略)
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