解答(点と直線の距離を使う場合)★高校数学「図形と方程式」「円」「直線」「接線」
解答(点と直線の距離を使う場合)★高校数学「図形と方程式」「円」「直線」「接線」
円x^2+y^2=15と直線y=2x+kが接するとき、定数kの値と接点の座標を求めよ。
問題ページはこちら
この記事では、点と直線の距離の公式を使って解いた場合を解説します。
ax+by+c=0の形の1次関数と点(x1,y1)との距離は
d=|ax1+by1+c|/√(a^2+b^2)
で表されます。
直線と円の中心との距離が、円の半径に等しいとき、円と直線は接する。ということができますね。
円の式は、x^2+y^2=15なので、中心は原点(0,0)です。(半径は√15)
直線の式はy=2x+kなので、移項して、2x-y+k=0とします。
この形で、(点と直線の距離)=(半径)で方程式を解けば、kの値が出る。というわけです。
やってみましょう!
d=|2・0-0+k|/√{2^2+(-1)^2}
=±k/√(4+1)
=±k/√5
半径は√15なので、
±k/√5=√15
±k=√15×√5
±k=√75
k=±5√3
ということで、接するときのkの値は±5√3です。
つまり接線の方程式は、y=2x±5√3であることがわかりました。
あとは円との共有点を求めれば完成です。
k=5√3のとき、y=2x+5√3これが円と共有点を持つので、連立方程式で解きます。
x^2+(2x+5√3)^2=15
x^2+4x^2+20√3x+75=15
5x^2+20√3x+60=0
x^2+4√3x+12=0
(x+2√3)^2=0
よって、x=-2√3
y=2x+5√3に代入すると、y=√3
k=-5√3のときも同様にすると、x=2√3,y=-√3が得られます。
よって、
k=5√3のとき、接点(-2√3,√3)
k=-5√3のとき、接点(2√3,-√3)
判別式を使った場合
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解答(判別式を使う場合)★高校数学「図形と方程式」「円」「直線」「接線」
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円x^2+y^2=15と直線y=2x+kが接するとき、定数kの値と接点の座標を求めよ。
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この記事では、判別式を使って解いた場合を解説します。
「円と直線が接する」場合、円と直線の式を合成して、判別式D=0で解くことでkの値を求めることができます。
2次関数と直線の位置関係を考えるときに、判別式を使えたのと同じイメージですね。
まずは合成してみましょう!
直線の式を円の式に代入して、
x^2+(2x+k)^2=15
x^2+4x^2+4kx+k^2=15
5x^2+4kx+k^2-15=0
kを定数とみなして、xの2次方程式ができました。
これを判別式に代入して、「接する」条件のD=0で解けば求めるkの値が出るというわけです。
D=(4k)^2-4・5・(k^2-15)
=16k^2-20k^2+300
=-4k^2+300=0
-4k^2=-300
k^2=75
k=±√75
=±5√3
ということで、接するときのkの値は±5√3です。
5x^2+4kx+k^2-15=0にk=5√3を代入すると、
5x^2+4・5√3・x+75-15
5x^2+20√3・x+60=0
x^2+4√3+12=0
(x+2√3)^2=0
よって、x=-2√3
y=2x+kに、k=5√3,x=-2√3を代入すると、
y=2・(-2√3)+5√3
=-4√3+5√3
=√3
つまり、k=5√3のとき、x=-2√3,y=√3であることがわかりました。
k=-5√3のときも同様にすると、5x^2-2x√3・x+60=0より(x-2√3)^2=0だからx=2√3。
y=2x+kにk=-5√3,x=2√3を入れるとy=-√3が得られます。
ということで、
k=5√3のとき、接点(-2√3,√3)
k=-5√3のとき、接点(2√3,-√3)
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高校数学「図形と方程式」「円」「直線」「接線」
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円x^2+y^2=15と直線y=2x+kが接するとき、定数kの値と接点の座標を求めよ。
円と直線の位置関係に関する問題です。
「円と直線が接する」条件は、2通りあります。
ひとつは判別式。
もう一つは点と直線の距離。
どっちを使っても、もちろん同じ答えになるので、まずは自分が得意な方でやってみてください。
解答解説は後ほど掲載します。
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高校数学「円の方程式」「平方完成」
高校数学「円の方程式」「平方完成」
方程式x^2+y^2-6x-4y-12=0はどのような図形を表すか。
xも2乗、yも2乗の場合は、円を表します。
円の場合は、中心と半径を求めて、「中心(a,b),半径rの円」のように答えます。
式は、(x-a)^2+(y-b)^2=r^2の形になります。
この形のとき、中心(a,b),半径rですね。
今回の問題では、中心と半径はそのままではわからないので、この「わかる形」にします。
かっこの2乗なので、いわゆる「平方完成」をすればOKですね!
(x^2-6x)+(y^2-4y)-12=0
(x^2-6x+9)-9+(y^2-4y+4)-4-12=0
(x-3)^2+(y-2)^2=25
(x-3)^2+(y-2)^2=5^2
よって、中心(3,2),半径5の円
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本日配信のメルマガ。2019年センター数学2B第4問ベクトル
本日配信のメルマガでは、2019年大学入試センター試験数学2B第4問を解説します。
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■ 問題
2019年大学入試センター試験数学2Bより
第4問
四角形ABCDを底面とする四角錐OABCDを考える。四角形ABCDは、
辺ADと辺BCが平行で、AB=CD,∠ABC=∠BCDを満たすとする。
→ → → → → →
さらに、OA=a,OB=b,OC=cとして
→ → →
|a|=1,|b|=√3,|c|=√5
→ → → → → →
a・b=1,b・c=3,a・c=0
であるとする。
(1) ∠AOC=[アイ]°により、三角形OACの面積は√[ウ]/[エ]である。
→ → → →
(2) BA・BC=[オカ],|BA|=√[キ],|BC|=√[ク]であるから、
∠ABC=[ケコサ]°である。さらに、辺ADと辺BCが平行であるから、
→ →
∠BAD=∠ADC=[シス]°である。よって、AD=[セ]・BCであり
→ → → →
OD=a-[ソ]・b+[タ]・c
と表される。また、四角形ABCDの面積は([チ]√[ツ])/[テ]である。
(3) 三角形OACを底面とする三角錐BOACの体積Vを求めよう。
→ → → →
3点O,A,Cの定める平面α上に、点HをBH⊥aとBH⊥cが成り立つ
→
ようにとる。|BH|は三角錐BOACの高さである。Hはα上の点であるから、
→ → →
実数s,tを用いてOH=s・a+t・cの形に表される。
→ → → →
BH・a=[ト],BH・c=[ト]により、s=[ナ],t=[ニ]/[ヌ]である。
→
よって、|BH|=√[ネ]/[ノ]が得られる。したがって、(1)により、
V=[ハ]/[ヒ]であることがわかる。
(4) (3)のVを用いると、四角錐OABCDの体積は[フ]Vと表せる。さらに、
四角形ABCDを底面とする四角錐OABCの高さは√[ヘ]/[ホ]である。
※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2で、ベクトルの矢印は一部省略、
マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説目次
◆1 ベクトルの成分と大きさ
◆2 ベクトルの足し算とかけ算
◆3 まずは設定を確認
◆4 内積がゼロ→90°
(以下略)
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■ 解説
◆1,2は省略します。
◆3 まずは設定を確認
では今回の問題です。
まずは問題の内容を確認しましょう!
四角形ABCDを底面とする四角錐OABCDを考える。四角形ABCDは、
辺ADと辺BCが平行で、AB=CD,∠ABC=∠BCDを満たすとする。
→ → → → → →
さらに、OA=a,OB=b,OC=cとして
→ → →
|a|=1,|b|=√3,|c|=√5
→ → → → → →
a・b=1,b・c=3,a・c=0
であるとする。
四角錐OABCDは、四角形ABCDが底面で、Oが頂点ですね。
そして、AD平行BC,AB=CD,∠ABC=∠BCDだそうです。
→ → →
そして頂点Oから底面のA,B,Cへのベクトルをa,b,cとしているようです。
そしてこれらの3つのベクトルの内積が与えられている。という設定です。
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
◆4 内積がゼロ→90°
では、最初の設問です。
∠AOCの大きさを聞いています。
唐突のように見えるかも知れませんが、ここまでの設定から論理の飛躍なく、
求めることができるからまず最初に聞いている。と考えると、気づきやすいと
思います。
ベクトルに関して、角度を使う事柄は何があるかといえば・・・
→ →
内積ですね!a,bのなす角をθとすると、
→ → → →
a・b=|a||b|cosθ
cosθをかけているので、θ=90°のとき、内積の値はゼロになります。
→ → → →
今回の問題では、「a・c=0」とあるので、aとcのなす角は90°で・・・
(以下略)
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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
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高校数学「ω」「3次方程式」「ωの2乗」
高校数学「ω」「3次方程式」「ωの2乗」
x^3=1の虚数解の一つをωとすると、もう一つの虚数解はω^2であることを実際にやってみたいと思います。
まず、x^3=1を解いてみます。
x^3=1
x^3-1=0
(x-1)(x^2+x+1)=0
より、x-1=0,x^2+x+1=0
x^2+x+1=0を解の公式を使って解くと、
x={-1±√(1^2-4・1・1)}/2・1
={-1±√(1-4)}/2
={-1±√(-3)}/2
=(-1±√3i)/2
このプラスマイナスの2つの解のうち片方、例えばプラスの方をωとしてみます。
つまり、ω=(-1+√3i)/2です。
ちょっと不思議に思うかも知れませんが、これを2乗すると、(-1-√3i)/2になるのです。やってみましょう!
ω^2={(-1+√3i)/2}^2
={(-1+√3i)^2}/4
={(-1)^2+2・(-1)・√3i+(√3i)^2}/4
=(1-2√3i-3)/4
=(-2-2√3i)/4
=(-1-√3i)/2
ということで、ω^2=(-1-√3i)/2になりましたね!
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本日配信のメルマガ。2019年大学入試センター試験数学1A第4問 整数の性質
本日配信のメルマガでは、2019年大学入試センター試験数学1A第4問の[イウ]までを解説します。
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■ 問題
2019年センター試験数1Aより
第4問
(1) 不定方程式
49x-23y=1
の解となる自然数x,yの中で、xの値が最小のものは
x=[ア],y=[イウ]
であり、すべての整数解は、kを整数として
x=[エオ]k+[ア],y=[カキ]+[イウ]
と表せる。
(2) 49の倍数である自然数Aと23の倍数である自然数Bの組(A,B)を考える。
AとBの差の絶対値が1となる組(A,B)の中で、Aが最小になるのは
(A,B)=(49×[ク],23×[ケコ])
である。また、AとBの差の絶対値が2となる組(A,B)の中で、Aが最小になる
のは
(A,B)=(49×[サ],23×[シス])
である。
(3) 連続する三つの自然数a,a+1,a+2を考える。
aとa+1の最大公約数は1
a+1とa+2の最大公約数は1
aとa+2の最大公約数は1または[セ]
である。
また、次の条件がすべての自然数aで成り立つような自然数mのうち、最大の
ものはm=[ソ]である。
条件:a(a+1)(a+2)はmの倍数である。
(4) 6762を素因数分解すると
6762=2×[タ]×7^[チ]×[ツテ]
である。
bをb(b+1)(b+2)が6762の倍数となる最小の自然数とする。
このとき、b,b+1,b+2のいずれかは7^[チ]の倍数であり、また、
b,b+1,b+2のいずれかは[ツテ]の倍数である。したがって、
b=[トナニ]である。
※分数は(分子)/(分母)、上付き・下付きの数字は半角で、xの2乗はx^2で、
マーク部分の□は[ ]、マル1は{1}で表記しています。
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■ 解説目次
◆1 全部解いてから選択が理想だが・・・
◆2 特殊解はひたすら代入でもOK!
◆3 yが自然数になる場合を探して
(以下略)
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■ 解説
◆1は省略します。
◆2 特殊解はひたすら代入でもOK!
では今回の問題です。
今回はまず最初に不定方程式の解を尋ねる問題が出題されました。
「49x-23y=1の解となる自然数x,yの中で、xの値が最小のもの」
を聞いていますね。
このような特定の解のことを「特殊解」と呼びます。
特殊解の求め方の一つは、「とにかくいろいろ代入してみる」です!(笑)
もちろん、ただ単に闇雲に代入してもなかなか解決しません。
まずここでは、闇雲にやるよりは少しだけ効率的に探す方法でやってみたいと
思います。
それは
「x,yの係数で大きいのはxの49なので、xに1から順に数字を入れて
そのときのyの値を求めてみる」
という方法です。
「そんな原始的な・・・」と思う人も多いと思いますが、特殊解を一つ出すだけ
なら、むしろコレが一番簡単な場合も多いです。
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◆3 yが自然数になる場合を探して
では実際にやってみましょう!
x=1のとき
49-23y=1
-23y=-48
y=48/23
問題の設定により、x,yは自然数なので、yの解が自然数でない場合は不適です。
つまり、x=1のときはこの不定方程式を満たす解は得られない。ということが
できます。以下同様にやってみると・・・
つづく
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