解答(点と直線の距離を使う場合)★高校数学「図形と方程式」「円」「直線」「接線」

解答(点と直線の距離を使う場合)★高校数学「図形と方程式」「円」「直線」「接線」

 

円x^2+y^2=15と直線y=2x+kが接するとき、定数kの値と接点の座標を求めよ。

 

 問題ページはこちら

a-ema.hatenablog.com

 

この記事では、点と直線の距離の公式を使って解いた場合を解説します。

ax+by+c=0の形の1次関数と点(x1,y1)との距離は

d=|ax1+by1+c|/√(a^2+b^2)

で表されます。

直線と円の中心との距離が、円の半径に等しいとき、円と直線は接する。ということができますね。

円の式は、x^2+y^2=15なので、中心は原点(0,0)です。(半径は√15)
直線の式はy=2x+kなので、移項して、2x-y+k=0とします。
この形で、(点と直線の距離)=(半径)で方程式を解けば、kの値が出る。というわけです。
やってみましょう!

d=|2・0-0+k|/√{2^2+(-1)^2}
 =±k/√(4+1)
 =±k/√5

半径は√15なので、

±k/√5=√15
  ±k=√15×√5
  ±k=√75
   k=±5√3

ということで、接するときのkの値は±5√3です。
つまり接線の方程式は、y=2x±5√3であることがわかりました。

あとは円との共有点を求めれば完成です。

k=5√3のとき、y=2x+5√3これが円と共有点を持つので、連立方程式で解きます。

    x^2+(2x+5√3)^2=15
x^2+4x^2+20√3x+75=15
   5x^2+20√3x+60=0
     x^2+4√3x+12=0
        (x+2√3)^2=0
よって、x=-2√3
y=2x+5√3に代入すると、y=√3

k=-5√3のときも同様にすると、x=2√3,y=-√3が得られます。

よって、
k=5√3のとき、接点(-2√3,√3)
k=-5√3のとき、接点(2√3,-√3)

 

 判別式を使った場合

a-ema.hatenablog.com

 


-----------------------------
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
-----------------------------

解答(判別式を使う場合)★高校数学「図形と方程式」「円」「直線」「接線」

解答(判別式を使う場合)★高校数学「図形と方程式」「円」「直線」「接線」

円x^2+y^2=15と直線y=2x+kが接するとき、定数kの値と接点の座標を求めよ。

 問題ページはこちら

a-ema.hatenablog.com

 

この記事では、判別式を使って解いた場合を解説します。

「円と直線が接する」場合、円と直線の式を合成して、判別式D=0で解くことでkの値を求めることができます。
2次関数と直線の位置関係を考えるときに、判別式を使えたのと同じイメージですね。

まずは合成してみましょう!

直線の式を円の式に代入して、

    x^2+(2x+k)^2=15
x^2+4x^2+4kx+k^2=15
5x^2+4kx+k^2-15=0

kを定数とみなして、xの2次方程式ができました。
これを判別式に代入して、「接する」条件のD=0で解けば求めるkの値が出るというわけです。

D=(4k)^2-4・5・(k^2-15)
 =16k^2-20k^2+300
 =-4k^2+300=0
      -4k^2=-300
        k^2=75
         k=±√75
          =±5√3

ということで、接するときのkの値は±5√3です。

5x^2+4kx+k^2-15=0にk=5√3を代入すると、

5x^2+4・5√3・x+75-15
5x^2+20√3・x+60=0
    x^2+4√3+12=0
      (x+2√3)^2=0
よって、x=-2√3

y=2x+kに、k=5√3,x=-2√3を代入すると、
y=2・(-2√3)+5√3
 =-4√3+5√3
 =√3

つまり、k=5√3のとき、x=-2√3,y=√3であることがわかりました。

k=-5√3のときも同様にすると、5x^2-2x√3・x+60=0より(x-2√3)^2=0だからx=2√3。
y=2x+kにk=-5√3,x=2√3を入れるとy=-√3が得られます。

ということで、

k=5√3のとき、接点(-2√3,√3)
k=-5√3のとき、接点(2√3,-√3)


-----------------------------
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
-----------------------------

高校数学「図形と方程式」「円」「直線」「接線」

高校数学「図形と方程式」「円」「直線」「接線」

 

円x^2+y^2=15と直線y=2x+kが接するとき、定数kの値と接点の座標を求めよ。

 

円と直線の位置関係に関する問題です。
「円と直線が接する」条件は、2通りあります。

ひとつは判別式。
もう一つは点と直線の距離。

どっちを使っても、もちろん同じ答えになるので、まずは自分が得意な方でやってみてください。

 

解答解説は後ほど掲載します。


-----------------------------
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
-----------------------------

高校数学「円の方程式」「平方完成」

高校数学「円の方程式」「平方完成」

 

方程式x^2+y^2-6x-4y-12=0はどのような図形を表すか。

 

xも2乗、yも2乗の場合は、円を表します。
円の場合は、中心と半径を求めて、「中心(a,b),半径rの円」のように答えます。

式は、(x-a)^2+(y-b)^2=r^2の形になります。
この形のとき、中心(a,b),半径rですね。

今回の問題では、中心と半径はそのままではわからないので、この「わかる形」にします。
かっこの2乗なので、いわゆる「平方完成」をすればOKですね!

        (x^2-6x)+(y^2-4y)-12=0
(x^2-6x+9)-9+(y^2-4y+4)-4-12=0
             (x-3)^2+(y-2)^2=25
             (x-3)^2+(y-2)^2=5^2

よって、中心(3,2),半径5の円


-----------------------------
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
-----------------------------
         無断転載等はご遠慮ください。(c)江間淳

本日配信のメルマガ。2019年センター数学2B第4問ベクトル

本日配信のメルマガでは、2019年大学入試センター試験数学2B第4問を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
 http://www.mag2.com/m/0001641004.html


リクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。


■ 問題

2019年大学入試センター試験数学2Bより

第4問

 四角形ABCDを底面とする四角錐OABCDを考える。四角形ABCDは、
辺ADと辺BCが平行で、AB=CD,∠ABC=∠BCDを満たすとする。
     →  →  →  →  →  →
さらに、OA=a,OB=b,OC=cとして
   →    →     →
  |a|=1,|b|=√3,|c|=√5
  → →   → →   → →
  a・b=1,b・c=3,a・c=0

であるとする。

(1) ∠AOC=[アイ]°により、三角形OACの面積は√[ウ]/[エ]である。
   →  →       →       →
(2) BA・BC=[オカ],|BA|=√[キ],|BC|=√[ク]であるから、
∠ABC=[ケコサ]°である。さらに、辺ADと辺BCが平行であるから、
                       →     →
∠BAD=∠ADC=[シス]°である。よって、AD=[セ]・BCであり
   →  →    →    →
  OD=a-[ソ]・b+[タ]・c

と表される。また、四角形ABCDの面積は([チ]√[ツ])/[テ]である。

(3) 三角形OACを底面とする三角錐BOACの体積Vを求めよう。
                      →  →  →  →
 3点O,A,Cの定める平面α上に、点HをBH⊥aとBH⊥cが成り立つ
       →
ようにとる。|BH|は三角錐BOACの高さである。Hはα上の点であるから、
          →    →   →
実数s,tを用いてOH=s・a+t・cの形に表される。
  →  →     →  →
 BH・a=[ト],BH・c=[ト]により、s=[ナ],t=[ニ]/[ヌ]である。
     →
よって、|BH|=√[ネ]/[ノ]が得られる。したがって、(1)により、
V=[ハ]/[ヒ]であることがわかる。

(4) (3)のVを用いると、四角錐OABCDの体積は[フ]Vと表せる。さらに、
四角形ABCDを底面とする四角錐OABCの高さは√[ヘ]/[ホ]である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2で、ベクトルの矢印は一部省略、
マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
=========================== お知らせ1 ===============================

茨城県水戸市常陸太田市東海村の個別指導教室
「AE個別学習室(えまじゅく)」では、生徒募集をしています。

1クラス4人までの少人数で、経験豊富なプロ講師の授業が受けられます。
女性講師も指定可能です。対象は小学生~高校生・浪人生。
1回の授業では、基本的に英語または数学の1教科を集中的に指導します。
1:1の授業をご希望の方への特別コースもご用意しています。

東海村教室では、全国大会経験者による指導が受けられる卓球教室の生徒も
同時募集しています。

興味をお持ちの方は、まずは mm@a-ema.com までお問い合わせください。

家庭教師・塾のサイトと連絡先はここ → http://www.a-ema.com/

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

■ 解説目次

 ◆1 ベクトルの成分と大きさ
 ◆2 ベクトルの足し算とかけ算
 ◆3 まずは設定を確認
 ◆4 内積がゼロ→90°

(以下略)

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
=========================== お知らせ2 ===============================

ブログにて様々な問題を解説しています!

■ センター数学を理由の理由まで解説するブログ
   http://centermath.seesaa.net/

■ センター英語をひとつひとつ解説するブログ
   http://a-emaenglish.seesaa.net/

■ 何でも解説するブログ(塾&家庭教師ブログ)
   http://a-ema.seesaa.net/


紙の書籍、電子書籍もご利用ください。
中学・高校の英語・数学の書籍を出版しています。

★江間淳(えまあつし)の書籍一覧 → http://amzn.to/2lnKZdS


------------------------------------------------------------------------

■ 解説

◆1,2は省略します。


 ◆3 まずは設定を確認


では今回の問題です。
まずは問題の内容を確認しましょう!


 四角形ABCDを底面とする四角錐OABCDを考える。四角形ABCDは、
辺ADと辺BCが平行で、AB=CD,∠ABC=∠BCDを満たすとする。
     →  →  →  →  →  →
さらに、OA=a,OB=b,OC=cとして
   →    →     →
  |a|=1,|b|=√3,|c|=√5
  → →   → →   → →
  a・b=1,b・c=3,a・c=0

であるとする。

四角錐OABCDは、四角形ABCDが底面で、Oが頂点ですね。
そして、AD平行BC,AB=CD,∠ABC=∠BCDだそうです。
                       → → →
そして頂点Oから底面のA,B,Cへのベクトルをa,b,cとしているようです。

そしてこれらの3つのベクトルの内積が与えられている。という設定です。


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

 ◆4 内積がゼロ→90°

では、最初の設問です。

∠AOCの大きさを聞いています。

唐突のように見えるかも知れませんが、ここまでの設定から論理の飛躍なく、
求めることができるからまず最初に聞いている。と考えると、気づきやすいと
思います。

ベクトルに関して、角度を使う事柄は何があるかといえば・・・
      → →
内積ですね!a,bのなす角をθとすると、

→ →  → →
a・b=|a||b|cosθ

cosθをかけているので、θ=90°のとき、内積の値はゼロになります。
         → →         → →
今回の問題では、「a・c=0」とあるので、aとcのなす角は90°で・・・


(以下略)


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
 http://www.mag2.com/m/0001641004.html

数学1A2B本試験の全問題を詳細に解説。\540/月。初月無料。火・金配信。


電子書籍版はこちら →→ http://amzn.to/2oZjEzX


━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
          発行者 江間淳(EMA Atsushi)
 mm@a-ema.com http://www.a-ema.com/k/ https://twitter.com/A_EMA_RYU
------------------------------------------------------------------------
                        無断転載・引用を禁じます。


=========================== お知らせ3 ===============================

5万人以上の利用実績がある勉強アプリ。英語・数学・化学など。
★印のものはGooglePlayでも公開中です。「江間淳」で検索してみてくださいね!

★【高校数学】読むだけでわかる!数学1Aの考え方
 http://pmana.jp/pc/pm586.html

【高校数学】読むだけでわかる!数学2Bの考え方
 http://pmana.jp/pc/pm743.html

【高校数学】読むだけでわかる!数学3の考え方
 http://pmana.jp/pc/pm730.html

★【高校英語】センター試験徹底トレーニン
 http://pmana.jp/pc/pm588.html

★【高校化学】読むだけでわかる!理論・無機・有機化学の考え方
 http://pmana.jp/pc/pm603.html

【高校物理】読むだけでわかる!物理基礎・物理の考え方
 http://pmana.jp/pc/pm729.html

【中学5科】高校入試の重要ポイント
 http://pmana.jp/pc/pm707.html

高校数学「ω」「3次方程式」「ωの2乗」

高校数学「ω」「3次方程式」「ωの2乗」

x^3=1の虚数解の一つをωとすると、もう一つの虚数解はω^2であることを実際にやってみたいと思います。

まず、x^3=1を解いてみます。

        x^3=1
      x^3-1=0
(x-1)(x^2+x+1)=0
より、x-1=0,x^2+x+1=0

x^2+x+1=0を解の公式を使って解くと、

x={-1±√(1^2-4・1・1)}/2・1
 ={-1±√(1-4)}/2
 ={-1±√(-3)}/2
 =(-1±√3i)/2

このプラスマイナスの2つの解のうち片方、例えばプラスの方をωとしてみます。
つまり、ω=(-1+√3i)/2です。
ちょっと不思議に思うかも知れませんが、これを2乗すると、(-1-√3i)/2になるのです。やってみましょう!

ω^2={(-1+√3i)/2}^2
  ={(-1+√3i)^2}/4
  ={(-1)^2+2・(-1)・√3i+(√3i)^2}/4
  =(1-2√3i-3)/4
  =(-2-2√3i)/4
  =(-1-√3i)/2

ということで、ω^2=(-1-√3i)/2になりましたね!


-----------------------------
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
-----------------------------

本日配信のメルマガ。2019年大学入試センター試験数学1A第4問 整数の性質

本日配信のメルマガでは、2019年大学入試センター試験数学1A第4問の[イウ]までを解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
 http://www.mag2.com/m/0001641004.html


リクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。


■ 問題

2019年センター試験数1Aより

第4問

(1) 不定方程式

  49x-23y=1

の解となる自然数x,yの中で、xの値が最小のものは

  x=[ア],y=[イウ]

であり、すべての整数解は、kを整数として

  x=[エオ]k+[ア],y=[カキ]+[イウ]

と表せる。

(2) 49の倍数である自然数Aと23の倍数である自然数Bの組(A,B)を考える。
AとBの差の絶対値が1となる組(A,B)の中で、Aが最小になるのは

  (A,B)=(49×[ク],23×[ケコ])

である。また、AとBの差の絶対値が2となる組(A,B)の中で、Aが最小になる
のは

  (A,B)=(49×[サ],23×[シス])

である。

(3) 連続する三つの自然数a,a+1,a+2を考える。

  aとa+1の最大公約数は1
  a+1とa+2の最大公約数は1
  aとa+2の最大公約数は1または[セ]

である。
 また、次の条件がすべての自然数aで成り立つような自然数mのうち、最大の
ものはm=[ソ]である。

  条件:a(a+1)(a+2)はmの倍数である。

(4) 6762を素因数分解すると

  6762=2×[タ]×7^[チ]×[ツテ]

である。
 bをb(b+1)(b+2)が6762の倍数となる最小の自然数とする。
このとき、b,b+1,b+2のいずれかは7^[チ]の倍数であり、また、
b,b+1,b+2のいずれかは[ツテ]の倍数である。したがって、
b=[トナニ]である。


※分数は(分子)/(分母)、上付き・下付きの数字は半角で、xの2乗はx^2で、
マーク部分の□は[ ]、マル1は{1}で表記しています。

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
=========================== お知らせ1 ===============================

茨城県水戸市常陸太田市東海村の個別指導教室
「AE個別学習室(えまじゅく)」では、生徒募集をしています。

1クラス4人までの少人数で、経験豊富なプロ講師の授業が受けられます。
女性講師も指定可能です。対象は小学生~高校生・浪人生。
1回の授業では、基本的に英語または数学の1教科を集中的に指導します。
1:1の授業をご希望の方への特別コースもご用意しています。

東海村教室では、全国大会経験者による指導が受けられる卓球教室の生徒も
同時募集しています。

興味をお持ちの方は、まずは mm@a-ema.com までお問い合わせください。

家庭教師・塾のサイトと連絡先はここ → http://www.a-ema.com/

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

■ 解説目次

 ◆1 全部解いてから選択が理想だが・・・
 ◆2 特殊解はひたすら代入でもOK!
 ◆3 yが自然数になる場合を探して

(以下略)

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
=========================== お知らせ2 ===============================

センター英語、数学を解説するブログを始めました!

■ センター数学を理由の理由まで解説するブログ
   http://centermath.seesaa.net/

■ センター英語をひとつひとつ解説するブログ
   http://a-emaenglish.seesaa.net/

2015年~2018年のセンター試験本試験の全問題の解説を掲載しています。
ただいま、2019年の問題を鋭意更新中!


紙の書籍、電子書籍もご利用ください。
中学・高校の英語・数学の書籍を出版しています。

★江間淳(えまあつし)の書籍一覧 → http://amzn.to/2lnKZdS


------------------------------------------------------------------------

■ 解説

◆1は省略します。


 ◆2 特殊解はひたすら代入でもOK!

では今回の問題です。

今回はまず最初に不定方程式の解を尋ねる問題が出題されました。

「49x-23y=1の解となる自然数x,yの中で、xの値が最小のもの」

を聞いていますね。

このような特定の解のことを「特殊解」と呼びます。
特殊解の求め方の一つは、「とにかくいろいろ代入してみる」です!(笑)

もちろん、ただ単に闇雲に代入してもなかなか解決しません。
まずここでは、闇雲にやるよりは少しだけ効率的に探す方法でやってみたいと
思います。

それは

「x,yの係数で大きいのはxの49なので、xに1から順に数字を入れて
そのときのyの値を求めてみる」

という方法です。
「そんな原始的な・・・」と思う人も多いと思いますが、特殊解を一つ出すだけ
なら、むしろコレが一番簡単な場合も多いです。


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

 ◆3 yが自然数になる場合を探して

では実際にやってみましょう!

x=1のとき
49-23y=1
  -23y=-48
     y=48/23

問題の設定により、x,yは自然数なので、yの解が自然数でない場合は不適です。
つまり、x=1のときはこの不定方程式を満たす解は得られない。ということが
できます。以下同様にやってみると・・・


つづく


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
 http://www.mag2.com/m/0001641004.html

数学1A2B本試験の全問題を詳細に解説。\540/月。初月無料。火・金配信。


電子書籍版はこちら →→ http://amzn.to/2oZjEzX


━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
          発行者 江間淳(EMA Atsushi)
 mm@a-ema.com http://www.a-ema.com/k/ https://twitter.com/A_EMA_RYU
------------------------------------------------------------------------
                        無断転載・引用を禁じます。


=========================== お知らせ3 ===============================

5万人以上の利用実績がある勉強アプリ。英語・数学・化学など。
★印のものはGooglePlayでも公開中です。「江間淳」で検索してみてくださいね!

★【高校数学】読むだけでわかる!数学1Aの考え方
 http://pmana.jp/pc/pm586.html

【高校数学】読むだけでわかる!数学2Bの考え方
 http://pmana.jp/pc/pm743.html

【高校数学】読むだけでわかる!数学3の考え方
 http://pmana.jp/pc/pm730.html

★【高校英語】センター試験徹底トレーニン
 http://pmana.jp/pc/pm588.html

★【高校化学】読むだけでわかる!理論・無機・有機化学の考え方
 http://pmana.jp/pc/pm603.html

【高校物理】読むだけでわかる!物理基礎・物理の考え方
 http://pmana.jp/pc/pm729.html

【中学5科】高校入試の重要ポイント
 http://pmana.jp/pc/pm707.html