解答(点と直線の距離を使う場合)★高校数学「図形と方程式」「円」「直線」「接線」
解答(点と直線の距離を使う場合)★高校数学「図形と方程式」「円」「直線」「接線」
円x^2+y^2=15と直線y=2x+kが接するとき、定数kの値と接点の座標を求めよ。
問題ページはこちら
この記事では、点と直線の距離の公式を使って解いた場合を解説します。
ax+by+c=0の形の1次関数と点(x1,y1)との距離は
d=|ax1+by1+c|/√(a^2+b^2)
で表されます。
直線と円の中心との距離が、円の半径に等しいとき、円と直線は接する。ということができますね。
円の式は、x^2+y^2=15なので、中心は原点(0,0)です。(半径は√15)
直線の式はy=2x+kなので、移項して、2x-y+k=0とします。
この形で、(点と直線の距離)=(半径)で方程式を解けば、kの値が出る。というわけです。
やってみましょう!
d=|2・0-0+k|/√{2^2+(-1)^2}
=±k/√(4+1)
=±k/√5
半径は√15なので、
±k/√5=√15
±k=√15×√5
±k=√75
k=±5√3
ということで、接するときのkの値は±5√3です。
つまり接線の方程式は、y=2x±5√3であることがわかりました。
あとは円との共有点を求めれば完成です。
k=5√3のとき、y=2x+5√3これが円と共有点を持つので、連立方程式で解きます。
x^2+(2x+5√3)^2=15
x^2+4x^2+20√3x+75=15
5x^2+20√3x+60=0
x^2+4√3x+12=0
(x+2√3)^2=0
よって、x=-2√3
y=2x+5√3に代入すると、y=√3
k=-5√3のときも同様にすると、x=2√3,y=-√3が得られます。
よって、
k=5√3のとき、接点(-2√3,√3)
k=-5√3のとき、接点(2√3,-√3)
判別式を使った場合
-----------------------------
20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!
プロ家庭教師の江間です。 AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/ http://www.a-ema.com/j/
-----------------------------