解答(判別式を使う場合)★高校数学「図形と方程式」「円」「直線」「接線」

円ｘ^2＋ｙ^2＝１５と直線ｙ＝２ｘ＋ｋが接するとき、定数ｋの値と接点の座標を求めよ。

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この記事では、判別式を使って解いた場合を解説します。

「円と直線が接する」場合、円と直線の式を合成して、判別式Ｄ＝０で解くことでｋの値を求めることができます。
２次関数と直線の位置関係を考えるときに、判別式を使えたのと同じイメージですね。

まずは合成してみましょう！

直線の式を円の式に代入して、

　　　　ｘ^2＋(２ｘ＋ｋ)^2＝１５
ｘ^2＋４ｘ^2＋４ｋｘ＋ｋ^2＝１５
５ｘ^2＋４ｋｘ＋ｋ^2－１５＝０

ｋを定数とみなして、ｘの２次方程式ができました。
これを判別式に代入して、「接する」条件のＤ＝０で解けば求めるｋの値が出るというわけです。

Ｄ＝(４ｋ)^2－４・５・(ｋ^2－１５)
　＝１６ｋ^2－２０ｋ^2＋３００
　＝－４ｋ^2＋３００＝０
　　　　　　－４ｋ^2＝－３００
　　　　　　　　ｋ^2＝７５
　　　　　　　　　ｋ＝±√７５
　　　　　　　　　　＝±５√３

ということで、接するときのｋの値は±５√３です。

５ｘ^2＋４ｋｘ＋ｋ^2－１５＝０にｋ＝５√３を代入すると、

５ｘ^2＋４・５√３・ｘ＋７５－１５
５ｘ^2＋２０√３・ｘ＋６０＝０
　　　　ｘ^2＋４√３＋１２＝０
　　　　　　(ｘ＋２√３)^2＝０
よって、ｘ＝－２√３

ｙ＝２ｘ＋ｋに、ｋ＝５√３，ｘ＝－２√３を代入すると、
ｙ＝２・(－２√３)＋５√３
　＝－４√３＋５√３
　＝√３

つまり、ｋ＝５√３のとき、ｘ＝－２√３，ｙ＝√３であることがわかりました。

ｋ＝－５√３のときも同様にすると、５ｘ^2－２ｘ√３・ｘ＋６０＝０より(ｘ－２√３)^2＝０だからｘ＝２√３。
ｙ＝２ｘ＋ｋにｋ＝－５√３，ｘ＝２√３を入れるとｙ＝－√３が得られます。

ということで、

ｋ＝５√３のとき、接点(－２√３，√３)
ｋ＝－５√３のとき、接点(２√３，－√３)

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