高校数学「ω」「３次方程式」「ωの２乗」

ｘ^3＝１の虚数解の一つをωとすると、もう一つの虚数解はω^2であることを実際にやってみたいと思います。

まず、ｘ^3＝１を解いてみます。

　　　　　　　　ｘ^3＝１
　　　　　　ｘ^3－１＝０
(ｘ－１)(ｘ^2＋ｘ＋１)＝０
より、ｘ－１＝０，ｘ^2＋ｘ＋１＝０

ｘ^2＋ｘ＋１＝０を解の公式を使って解くと、

ｘ＝{－１±√(１^2－４・１・１)}／２・１
　＝{－１±√(１－４)}／２
　＝{－１±√(－３)}／２
　＝(－１±√３ｉ)／２

このプラスマイナスの２つの解のうち片方、例えばプラスの方をωとしてみます。
つまり、ω＝(－１＋√３ｉ)／２です。
ちょっと不思議に思うかも知れませんが、これを２乗すると、(－１－√３ｉ)／２になるのです。やってみましょう！

ω^2＝{(－１＋√３ｉ)／２}^2
　　＝{(－１＋√３ｉ)^2}／４
　　＝{(－１)^2＋２・(－１)・√３ｉ＋(√３ｉ)^2}／４
　　＝(１－２√３ｉ－３)／４
　　＝(－２－２√３ｉ)／４
　　＝(－１－√３ｉ)／２

ということで、ω^2＝(－１－√３ｉ)／２になりましたね！

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