解答(点と直線の距離を使う場合)★高校数学「図形と方程式」「円」「直線」「接線」 円ｘ^2＋ｙ^2＝１５と直線ｙ＝２ｘ＋ｋが接するとき、定数ｋの値と接点の座標を求めよ。 問題ページはこちら a-ema.hatenablog.com この記事では、点と直線の距離の公式を使…

解答(判別式を使う場合)★高校数学「図形と方程式」「円」「直線」「接線」 円ｘ^2＋ｙ^2＝１５と直線ｙ＝２ｘ＋ｋが接するとき、定数ｋの値と接点の座標を求めよ。 問題ページはこちら a-ema.hatenablog.com この記事では、判別式を使って解いた場合を解説し…

高校数学「図形と方程式」「円」「直線」「接線」 円ｘ^2＋ｙ^2＝１５と直線ｙ＝２ｘ＋ｋが接するとき、定数ｋの値と接点の座標を求めよ。 円と直線の位置関係に関する問題です。「円と直線が接する」条件は、２通りあります。 ひとつは判別式。もう一つは点…

高校数学「円の方程式」「平方完成」 方程式ｘ^2＋ｙ^2－６ｘ－４ｙ－１２＝０はどのような図形を表すか。 ｘも２乗、ｙも２乗の場合は、円を表します。円の場合は、中心と半径を求めて、「中心(ａ，ｂ)，半径ｒの円」のように答えます。 式は、(ｘ－ａ)^2＋…

本日配信のメルマガでは、2019年大学入試センター試験数学２Ｂ第４問を解説します。 【高校数学】読むだけでわかる！センター数学の考え方 http://www.mag2.com/m/0001641004.html リクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。 ■ 問題 2…

高校数学「ω」「３次方程式」「ωの２乗」 ｘ^3＝１の虚数解の一つをωとすると、もう一つの虚数解はω^2であることを実際にやってみたいと思います。 まず、ｘ^3＝１を解いてみます。 ｘ^3＝１ ｘ^3－１＝０(ｘ－１)(ｘ^2＋ｘ＋１)＝０より、ｘ－１＝０，ｘ^2…

本日配信のメルマガでは、2019年大学入試センター試験数学１Ａ第４問の[イウ]までを解説します。 【高校数学】読むだけでわかる！センター数学の考え方 http://www.mag2.com/m/0001641004.html リクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせくださ…

高校数学「不等式の証明」「相加相乗平均」 ａ＞０のとき、不等式ａ＋１／ａ≧２を証明せよ。 この問題について考えます。 不等式の証明でまず最初に考えるのは、「大きい方－小さい方≧０」ですね。 この場合、ａ＋１／ａ－２≧０を言うことができれば、与式が…

高校数学「２次方程式」「解と係数の関係」「複素数」 「２次方程式ｘ^2－ｘ＋３＝０の解をα，βとするとき、 (1) α^2＋β^2の値を求めよ。」 このような問題の場合は、普通は「解と係数の関係」を使います。 α＋β＝－ｂ／ａ，αβ＝ｃ／ａ ですね。 今回の問題…

高校数学「高次方程式」「３次方程式」「因数定理」 ｘ^3－３ｘ^2＋２＝０という方程式を解くことを考えます。 式をぼんやり見ていると、「掛けて２，足して－３だから、－１と－２でしょ？因数分解して(ｘ－１)(ｘ－２)だから、ｘ＝１，２で完成！簡単！」…

高校数学「２次関数」「判別式」「２次不等式」 ｘ^2＋ａｘ＋ａ＋３＞０が、ｘの値にかかわらず常に成り立つようなａの値の範囲を求めよ。 この問題について考えます。 単に公式的に解き方を覚えて、当てはめて計算するだけ。というのは良い方法ではありませ…

高校数学「等式の証明」「恒等式」 「ｘ(ａ＋１)＋ｙ(ｂ－ａ)＝３ｘ＋２ｙがｘ，ｙの値にかかわらず常に成り立つようなａ，ｂの値を求める」ことを考えます。 「常に成り立つ式」＝「恒等式」ですね。 等式は両辺が等しいので、両辺の係数を比較して、ｘの係…

高校数学「２次関数」「判別式」 「２次関数ｙ＝２ｘ^2－４ｘ＋３のｘ，ｙは実数であることから、２次方程式２ｘ^2－４ｘ＋３－ｙ＝０のｙの取り得る値の範囲を求めよ。」 この問題について考えます。 ２次方程式２ｘ^2－４ｘ＋３－ｙ＝０は、２次関数ｙ＝２…

高校数学「微分」「関数の連続」 数学３の微分の単元では、ときどき「連続」に関する出題があります。 今までやっている多くの関数は「連続」しています。 例えば、普通の２次関数や３次関数は、途中でグラフが途切れたり、値が飛び飛びになったりしていませ…

高校数学「極限」「分数の積」 ｌｉｍ[n→∞](１－１／２^2)(１－１／３^2)(１－１／４^2)・・・{１－１／(ｎ－１)^2}(１－１／ｎ^2)の極限値を求めることを考えます。 それぞれの括弧の中身が(ａ^2－ｂ^2)の形になっていることに注目すると、 ＝ｌｉｍ[n→∞](…

高校数学「２次関数」「下に凸のグラフの最小値」 ２次関数は放物線のグラフになります。 例えば、定義域が－１≦ｘ≦１と決められた場合、下に凸の２次関数の最小値は次のように分類することができます。 ●定義域内に頂点が入っていれば、頂点が最小値●頂点が…

高校数学「２次関数の最大最小」「最小値とそのときのｘ，ｙの値」 「ｘ≧０，ｙ≧０，２ｘ＋ｙ＝２のとき、ｘ(ｙ－１)の最大値・最小値を求めよ。」 この問題を解くことを考えます。 前回の記事で、最大値を求めました。 a-ema.hatenablog.com あとは最小値で…

高校数学「２次関数の最大最小」「最大値とそのときのｘ，ｙの値」 「ｘ≧０，ｙ≧０，２ｘ＋ｙ＝２のとき、ｘ(ｙ－１)の最大値・最小値を求めよ。」 この問題を解くことを考えます。 前回の記事で、与式から２次式を作りました。 a-ema.hatenablog.com ｘ(ｙ…

高校数学「２次関数の最大最小」「ｘの２次式の作り方」 「ｘ≧０，ｙ≧０，２ｘ＋ｙ＝２のとき、ｘ(ｙ－１)の最大値・最小値を求めよ。」 この問題を解くことを考えます。 普通の２次関数の形になっていないので、何をしたら良いかわかりにくいと思いますが・…

高校数学「極限」「三角関数の極限」「ｓｉｎｘの極限」 三角関数の極限では、「ｌｉｍ[x→0](ｓｉｎｘ／ｘ)＝１」であることが知られているので、この形を目指して式の変形をします。 ｓｉｎｘ／ｘにｘ＝２ｘを代入すれば、ｓｉｎ２ｘ／２ｘ ｓｉｎｘ／ｘに…

本日配信のメルマガでは、2019年大学入試センター試験数学２Ｂ第３問の[ウ]までを解説します。 【高校数学】読むだけでわかる！センター数学の考え方 http://www.mag2.com/m/0001641004.html リクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください…

高校数学「不等式の証明」「相加相乗平均」 不等式の証明の問題では、相加相乗平均の関係を利用する場合があります。 ２つの数ａ，ｂがあるとき、 (ａ＋ｂ)／２≧√ａｂ の関係が成り立ちます。 つまり、「足して２で割った数は、掛けてルートした数と同じか大…

高校数学「式の計算」「３乗の公式」「展開」「因数分解」 (ａ＋ｂ)(ａ^2－ａｂ＋ｂ^2)＝ａ^3＋ｂ^3 展開は、公式を使わなくてもできることはできますが、この公式は覚えるやつです。 覚えた方が計算が確実に速くできるだけでなく、因数分解をするために必要…

高校数学「２次関数」頂点の座標 2009年のセンター試験に、次の２次関数の頂点を求める問題が出題されました。 ｙ＝２ｘ^2－４(ａ＋１)ｘ＋１０ａ＋１ 頂点を求めるには平方完成ですね。これを平方完成すると、次のようになります。 ①まずはｘの２乗の係数で…

中学数学「空間図形」直方体の表面積 立体図形の表面積を求めるときは、展開図を考えて、その展開図のそれぞれの図形の面積の和を求めます。 直方体ならば、すべての面が長方形でできているので、それらの長方形の面積を全部足すだけです。 中学レベルでは、…

中学数学「１次方程式」移項 方程式の計算では、たいてい移項が必要になります。 移項とは、「イコールの反対側に項を移動すること」です。 「移項すると符号が変わる」と考えますが、これはどうしてでしょうか？ 例えば「ｘ＋３＝２」という方程式を考えま…

中学数学「１次方程式」移項 方程式の計算では、たいてい移項が必要になります。 移項とは、「イコールの反対側に項を移動すること」です。 「移項すると符号が変わる」と考えますが、これはどうしてでしょうか？ 例えば「ｘ＋３＝２」という方程式を考えま…

高校数学「絶対値」絶対値を含む方程式 ２|ｘ|＋|２ｘ＋３|＝７ この方程式を解くことを考えます。 絶対値の記号の外し方は、絶対値の中身の値がプラスかマイナスかで異なるので、場合分けが必要です。絶対値の中身がプラスならそのまま外し、絶対値の中身が…

高校数学「２次関数」平方完成のやり方 ２次関数の問題では、平方完成が必要になることが多いです。自分の授業では、以下のようにやり方を指導しています。 ｙ＝ｘ^2－４ｘ＋１という２次関数を平方完成してみましょう！ ｙ＝ｘ^2－４ｘ＋１ ・・・ａ ＝(ｘ^…

高校数学「等式の証明」 Ａ＝Ｂという等式の証明をしたい場合は、 ・Ａ－Ｂを計算してゼロになることを示す ・Ａを計算したらＢになることを示す ・ＡとＢをそれぞれ計算して、同じ形の式が作れることを示す のような方法をとるのが一般的です。 一見すると…