2019-05-08

高校数学「極限」「分数の積」

ｌｉｍ[n→∞](１－１／２^2)(１－１／３^2)(１－１／４^2)・・・{１－１／(ｎ－１)^2}(１－１／ｎ^2)の極限値を求めることを考えます。

それぞれの括弧の中身が(ａ^2－ｂ^2)の形になっていることに注目すると、

＝ｌｉｍ[n→∞](１＋１／２)(１－１／２)(１＋１／３)(１－１／３)(１＋１／４)(１－１／４)・・・{１＋１／(ｎ－１)}{１－１／(ｎ－１)}(１＋１／ｎ)(１－１／ｎ)

このように因数分解することができますね。

これの括弧の中身をそれぞれ計算してみると、

＝ｌｉｍ[n→∞](３／２)(１／２)(４／３)(２／３)(５／４)(３／４)・・・{ｎ／(ｎ－１)}{(ｎ－２)／(ｎ－１)}{(ｎ＋１)／ｎ}{(ｎ－１)／ｎ}
＝ｌｉｍ[n→∞](３・１／２・２)(４・２／３・３)(５・３／４・４)・・・{ｎ(ｎ－２)／(ｎ－１)(ｎ－１)}{(ｎ＋１)(ｎ－１)／ｎ・ｎ}

このように式を書いてみると、約分できる部分がたくさんあることに気づくと思います。
例えば(３・１／２・２)(４・２／３・３)の部分は、２と２，３と３が約分できますね。さらに、次の(５・３／４・４)と４と４，３と３で約分できるので、最初の(３・１／２・２)(４・２／３・３)の部分は、１／２だけ残ります。
同様に次々と約分していくと、最初の１／２と最後の(ｎ＋１)／ｎが残り、

＝ｌｉｍ[n→∞](１／２){(ｎ＋１)／ｎ}

よって、求める極限値は１／２となります。

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2019-05-07

高校数学「２次関数」「下に凸のグラフの最小値」

２次関数は放物線のグラフになります。

例えば、定義域が－１≦ｘ≦１と決められた場合、下に凸の２次関数の最小値は次のように分類することができます。

●定義域内に頂点が入っていれば、頂点が最小値
●頂点が定義域の左側ならば、定義域の左端が最小値
●頂点が定義域の右側ならば、定義域の右端が最小値

公式のようにこの分類を暗記して・・・というのは得策ではありません。
「定義域が一定の範囲に決められた場合の、下に凸の２次関数の最小値」ならば、この分類で間違いありませんが、
グラフの形や定義域の決め方が変われば、必ずしもこの限りではないからです。

最大最小の問題を解くときは、

まずは頂点などの重要な点の座標を求めて、
→グラフを描いて、
→グラフの中のどこからどこまでを使うのかを考えて、
→その使う範囲内で、一番上や一番下はどこかを探す

という考え方をすると良いです。
とにかく、「急がば回れ」です！

2019-04-25

高校数学「２次関数の最大最小」「最小値とそのときのｘ，ｙの値」

「ｘ≧０，ｙ≧０，２ｘ＋ｙ＝２のとき、ｘ(ｙ－１)の最大値・最小値を求めよ。」

この問題を解くことを考えます。

前回の記事で、最大値を求めました。

a-ema.hatenablog.com

あとは最小値です。

上に凸の放物線のグラフの最小値は、定義域の両端のうち、頂点から遠い方ですね。

頂点はｘ＝１／４のところで、定義域は０≦ｘ≦１なので、最小値はｘ＝１のところです。

２ｘ＋ｙ＝２にｘ＝１を代入すると、ｙ＝０です。

これらの値をｘ(ｙ－１)に代入して、

１(０－１)＝－１

よってｘ＝１，ｙ＝０のとき、最小値－１

2019-04-25

高校数学「２次関数の最大最小」「最大値とそのときのｘ，ｙの値」

「ｘ≧０，ｙ≧０，２ｘ＋ｙ＝２のとき、ｘ(ｙ－１)の最大値・最小値を求めよ。」

この問題を解くことを考えます。

前回の記事で、与式から２次式を作りました。

a-ema.hatenablog.com

ｘ(ｙ－１)＝－２ｘ^2＋ｘ

となるのでしたね。

この記事では、この２次式の最大値・最小値を実際に求めてみます。

２次式の最大最小なので、まずは平方完成です。

　－２ｘ^2＋ｘ
＝－２(ｘ^2－ｘ／２)
＝－２{(ｘ－１／４)^2－１／１６}
＝－２(ｘ－１／４)^2＋１／８

よって、この２次式の頂点は、(１／４，１／８)
だから、「ｘ＝１／４のときｙ＝１／８」・・・ではありません。

ｘ＝１／４は正しいですが、この１／８は、この問題のｙの値ではなく、ｘ(ｙ－１)の式の値です。

－２ｘ^2＋ｘは、ｘの２乗の係数がマイナスなので、上に凸の放物線になります。
だから、頂点が定義域に入っていれば、頂点が最大値になります。

ｘ≧０，ｙ≧０，２ｘ＋ｙ＝２という条件から、ｘの定義域が決まります。
ｘ，ｙともにゼロ以上で、２ｘ＋ｙ＝２ということは、ｘが増えればｙは減る。という関係にあり、ｘもｙもある一定の範囲の値のみをとることができます。
ｙ≧０を満たす範囲で、ｘが最も大きくなるときは、ｘ＝１ですね。ｘ＝１，ｙ＝０ならば、２ｘ＋ｙ＝２が成り立ちます。
つまり、定義域は０≦ｘ≦１です。

この範囲内にｘ＝１／４は入っているので、やはり頂点が最大値です。
ｘ＝１／４のとき、最大値１／８

さらに、このときのｙの値も求めましょう！
２ｘ＋ｙ＝２で、ｘ＝１／４なので代入して、２×１／４＋ｙ＝２より、ｙ＝３／２です。
まとめると、

ｘ＝１／４，ｙ＝３／２のとき、最大値１／８

というわけですね！

2019-04-23

高校数学「２次関数の最大最小」「ｘの２次式の作り方」

「ｘ≧０，ｙ≧０，２ｘ＋ｙ＝２のとき、ｘ(ｙ－１)の最大値・最小値を求めよ。」

この問題を解くことを考えます。

普通の２次関数の形になっていないので、何をしたら良いかわかりにくいと思いますが・・・

まずは２ｘ＋ｙ＝２という式に着目します。

これはｘとｙの関係を表している。と考えられるので、この式をｙについて解いてみましょう！

ｙ＝－２ｘ＋２ですね。

これをｘ(ｙ－１)に代入すると・・・

　ｘ(－２ｘ＋２－１)
＝ｘ(－２ｘ＋１)
＝－２ｘ^2＋ｘ

普通の２次式が出てきました。
この２次式の最大最小を考えれば良いというわけです。

つまり、平方完成ですね！

続きはまた別の記事に掲載したいと思います。

2019-04-20

高校数学「極限」「三角関数の極限」「ｓｉｎｘの極限」

三角関数の極限では、「ｌｉｍ[x→0](ｓｉｎｘ／ｘ)＝１」であることが知られているので、この形を目指して式の変形をします。

ｓｉｎｘ／ｘにｘ＝２ｘを代入すれば、ｓｉｎ２ｘ／２ｘ

ｓｉｎｘ／ｘにｘ＝３ｘを代入すれば、ｓｉｎ３ｘ／３ｘ

ｓｉｎｘ／ｘにｘ＝θを代入すれば、ｓｉｎθ／θ

のように、分子のｓｉｎｘのｘと、分母のｘが同じ形になれば、「ｌｉｍ[x→0](ｓｉｎｘ／ｘ)＝１」を使うことができて、その部分の極限値は１になります。

2019-04-19

本日配信のメルマガ。2019年センター数学２Ｂ第３問[ウ]まで

本日配信のメルマガでは、2019年大学入試センター試験数学２Ｂ第３問の[ウ]までを解説します。

【高校数学】読むだけでわかる！センター数学の考え方
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リクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。

■　問題

2019年センター試験数２Ｂより

第３問

　初項が３，公比が４の等比数列の初項から第ｎ項までの和をＳnとする。また、
数列{Ｔn}は、初項が－１であり、{Ｔn}の階差数列が数列{Ｓn}であるような数列と
する。

(1) Ｓ2＝[アイ]，Ｔ2＝[ウ]である。

(2) {Ｓn}と{Ｔn}の一般項は、それぞれ

　　Ｓn＝[エ]^[オ]－[カ]
　　Ｔn＝([キ]^[ク])／[ケ]－ｎ－[コ]／[サ]

である。ただし、[オ]と[ク]については、当てはまるものを、次の{0}～{4}のうち
から一つずつ選べ。同じものを選んでもよい。

{0} ｎ－１　　{1} ｎ　　{2} ｎ＋１　　{3} ｎ＋２　　{4} ｎ＋３

(3) 数列{ａn}は、初項が－３であり、漸化式

　　ｎａn+1＝４(ｎ＋１)ａn＋８Ｔn　(ｎ＝１，２，３，…)

を満たすとする。{ａn}の一般項を求めよう。

　そのために、ｂn＝(ａn＋２Ｔn)／ｎにより定められる数列{ｂn}を考える。{ｂn}
の初項は[シス]である。

　{Ｔn}は漸化式

　　Ｔn+1＝[セ]Ｔn＋[ソ]ｎ＋[タ]　(ｎ＝１，２，３，…)

を満たすから、{ｂn}は漸化式

　　ｂn+1＝[チ]ｂn＋[ツ]　(ｎ＝１，２，３，…)

を満たすことがわかる。よって、{ｂn}の一般項は

　　ｂn＝[テト]・[チ]^[ナ]－[ニ]

である。ただし、[ナ]については、当てはまるものを、次の{0}～{4}のうちから
一つ選べ。

{0} ｎ－１　　{1} ｎ　　{2} ｎ＋１　　{3} ｎ＋２　　{4} ｎ＋３

　したがって、{Ｔn}，{ｂn}の一般項から{ａn}の一般項を求めると

　　ａn＝{[ヌ]([ネ]ｎ＋[ノ])[チ]^[ナ]＋[ハ]}／[ヒ]

である。

※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、数列{ａn}のｎ＋１項目はａn+1、
一般項ｎ^2の初項から第ｎ項までの数列の和はΣ[k=1～n]ｋ^2、マル１は{1}、
マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■　解説目次

　◆１　等差数列と等比数列の用語・公式
　◆２　Ｓ2は初項＋第２項
　◆３　公比＞１なのでｒ－１に代入

(以下略)

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■　解説

◆１は省略します。

　◆２　Ｓ2は初項＋第２項

では今回の問題を確認してみましょう！

「初項が３，公比が４の等比数列の初項から第ｎ項までの和をＳn」と言って
います。

最初の設問では、この数列のＳ2を求めます。

初項が３，公比が４なので、Ｓ2＝３＋３×４＝１５

よって、[アイ]＝１５

・・・一応これでも正解ですが、続きの問題のことも考えると、ちゃんと公式を
使って求められるようにしておいた方がよいです。

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　◆３　公比＞１なのでｒ－１に代入

◆１で触れたように、等比数列の和は

和Ｓn＝{ａ(ｒ^n－１)}／(ｒ－１)＝{ａ(１－ｒ^n)}／(１－ｒ)

で求められます。

今回の問題では、初項ａ＝３，公比ｒ＝４，項数ｎ＝２なので・・・

(以下略)

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