高校数学「極限」「分数の積」

高校数学「極限」「分数の積」

ｌｉｍ[n→∞](１－１／２^2)(１－１／３^2)(１－１／４^2)・・・{１－１／(ｎ－１)^2}(１－１／ｎ^2)の極限値を求めることを考えます。

それぞれの括弧の中身が(ａ^2－ｂ^2)の形になっていることに注目すると、

＝ｌｉｍ[n→∞](１＋１／２)(１－１／２)(１＋１／３)(１－１／３)(１＋１／４)(１－１／４)・・・{１＋１／(ｎ－１)}{１－１／(ｎ－１)}(１＋１／ｎ)(１－１／ｎ)

このように因数分解することができますね。

これの括弧の中身をそれぞれ計算してみると、

＝ｌｉｍ[n→∞](３／２)(１／２)(４／３)(２／３)(５／４)(３／４)・・・{ｎ／(ｎ－１)}{(ｎ－２)／(ｎ－１)}{(ｎ＋１)／ｎ}{(ｎ－１)／ｎ}
＝ｌｉｍ[n→∞](３・１／２・２)(４・２／３・３)(５・３／４・４)・・・{ｎ(ｎ－２)／(ｎ－１)(ｎ－１)}{(ｎ＋１)(ｎ－１)／ｎ・ｎ}

このように式を書いてみると、約分できる部分がたくさんあることに気づくと思います。
例えば(３・１／２・２)(４・２／３・３)の部分は、２と２，３と３が約分できますね。さらに、次の(５・３／４・４)と４と４，３と３で約分できるので、最初の(３・１／２・２)(４・２／３・３)の部分は、１／２だけ残ります。
同様に次々と約分していくと、最初の１／２と最後の(ｎ＋１)／ｎが残り、

＝ｌｉｍ[n→∞](１／２){(ｎ＋１)／ｎ}

よって、求める極限値は１／２となります。

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