高校数学「２次関数」頂点の座標

高校数学「２次関数」頂点の座標

2009年のセンター試験に、次の２次関数の頂点を求める問題が出題されました。

ｙ＝２ｘ^2－４(ａ＋１)ｘ＋１０ａ＋１

頂点を求めるには平方完成ですね。
これを平方完成すると、次のようになります。

①まずはｘの２乗の係数でくくる
ｙ＝２{ｘ^2－２(ａ＋１)ｘ}＋１０ａ＋１

②１行空けて括弧の２乗をつくる
ｙ＝２{ｘ^2－２(ａ＋１)ｘ}＋１０ａ＋１
　＝
　＝２{ｘ－(ａ＋１)}^2

③空けた行に括弧の２乗を展開する
ｙ＝２{ｘ^2－２(ａ＋１)ｘ}＋１０ａ＋１
　＝２{ｘ^2－２(ａ＋１)ｘ＋(ａ＋１)^2－(ａ＋１)^2}＋１０ａ＋１　←中括弧の中には(ａ＋１)^2がなかったので相殺した
　＝２{ｘ－(ａ＋１)}^2

④括弧の２乗を作るために使わなかった項を３行目に書き足す
ｙ＝２{ｘ^2－２(ａ＋１)ｘ}＋１０ａ＋１
　＝２{ｘ^2－２(ａ＋１)ｘ＋(ａ＋１)^2－(ａ＋１)^2}＋１０ａ＋１
　＝２{ｘ－(ａ＋１)}^2－２(ａ＋１)^2＋１０＋１

⑤定数項をまとめて完成
ｙ＝２{ｘ^2－２(ａ＋１)ｘ}＋１０ａ＋１
　＝２{ｘ^2－２(ａ＋１)ｘ＋(ａ＋１)^2－(ａ＋１)^2}＋１０ａ＋１
　＝２{ｘ－(ａ＋１)}^2－２(ａ^2＋２ａ＋１)＋１０ａ＋１
　＝２{ｘ－(ａ＋１)}^2－２ａ^2－４ａ－２＋１０ａ＋１
　＝２{ｘ－(ａ＋１)}^2－２ａ^2＋６ａ－１

ということで、この２次関数の頂点の座標は(ａ＋１，－２ａ^2＋６ａ－１)ですね！

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