高校数学「２次関数」「判別式」「２次不等式」

ｘ^2＋ａｘ＋ａ＋３＞０が、ｘの値にかかわらず常に成り立つようなａの値の範囲を求めよ。

この問題について考えます。

単に公式的に解き方を覚えて、当てはめて計算するだけ。というのは良い方法ではありません。
ちゃんとグラフを考えて、その解き方が必然的にそうなる。ことを理解した方が良いです。

「２次不等式がｘの値にかかわらず成り立つ」とはどういう場合でしょうか？

「ｘにどんな値を代入しても、式が成り立つ」ので、「ｘにどんな値を代入しても、常に式の値がプラス」ですね。

ｙ＝ｘ^2＋ａｘ＋ａ＋３という２次関数を考えれば、「ｘの値がいくつでも、ｙの値がプラス」です。

ｘの２乗の係数がプラスなので、この２次関数は下に凸です。
下に凸の放物線でｙの値が常にプラスということは、２次関数のグラフとｘ軸は共有点を持たない。ことを意味します。

だから、判別式Ｄ＜０という条件になるのです。
「Ｄ＜０のとき、放物線とｘ軸は共有点を持たない」でしたね？

だから、「２次不等式が常に成り立つ」ならば、「Ｄ＜０」で解けば良いというわけです。

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