2019-06-03

高校数学「不等式の証明」「相加相乗平均」

ａ＞０のとき、不等式ａ＋１／ａ≧２を証明せよ。

この問題について考えます。

不等式の証明でまず最初に考えるのは、「大きい方－小さい方≧０」ですね。

この場合、ａ＋１／ａ－２≧０を言うことができれば、与式が証明できたことになりますが・・・

ａが大きくなれば１／ａは小さくなるし、ａが小さくなれば１／ａは大きくなるし、ａ＋１／ａ－２≧０を普通に計算して示すのは難しそうですね。

また、ａと１／ａは逆数の関係になっていて、ａ×１／ａ＝１となり、かけ算をするとａが消えます。

このような場合に、「相加平均と相乗平均の関係」を使います。
２つの数をａ，ｂとすると、

(ａ＋ｂ)／２≧√ａｂ

という関係があることが知られています。
左辺が足して２で割ったので「相加平均」、右辺は掛けてルートしたので「相乗平均」です。
言葉で説明すれば、(相加平均)≧(相乗平均)という関係があるということができます。これは「そうなる」ことが知られているので、「公式・定理」と同様に使うことができます。

証明では、この両辺を２倍して

ａ＋ｂ≧２√ａｂ

の形で使うことが多いです。

今回の問題では、ａ＝ａ，ｂ＝１／ａとすれば、相加相乗平均の関係より

ａ＋１／ａ≧２√(ａ×１／ａ)

という式が得られます。
この式の右辺を計算すれば、２√(ａ×１／ａ)＝２×１＝２となります。
つまり、「ａ＋１／ａ≧２」ですね。
よって与式は成り立つ。
ということで証明が完成しました！

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2019-05-31

高校数学「２次方程式」「解と係数の関係」「複素数」

「２次方程式ｘ^2－ｘ＋３＝０の解をα，βとするとき、

(1) α^2＋β^2の値を求めよ。」

このような問題の場合は、普通は「解と係数の関係」を使います。

α＋β＝－ｂ／ａ，αβ＝ｃ／ａ

ですね。

今回の問題では、α＋β＝－(－１)／１＝１，αβ＝３となります。
これらの値を利用して、α^2＋β^2を求めることができます。

「２乗だから、α＋β＝１を２乗して、１^2＝１」

などと自信満々に答える人もいるかも知れません。
残念ながら間違いです。(α＋β)^2＝α^2＋β^2ではなく

(α＋β)^2＝α^2＋２αβ＋β^2

ですね。
これにα＋β＝１，αβ＝３を代入すると、

　　　１＝α^2＋２×３＋β^2
α^2＋β^2＝１－６＝－５

よって、α^2＋β^2＝－５であることがわかりました。

2019-05-17

高校数学「高次方程式」「３次方程式」「因数定理」

ｘ^3－３ｘ^2＋２＝０という方程式を解くことを考えます。

式をぼんやり見ていると、
「掛けて２，足して－３だから、－１と－２でしょ？因数分解して(ｘ－１)(ｘ－２)だから、ｘ＝１，２で完成！簡単！」
などとやってしまいがちです。

もし、ｘ^2－３ｘ＋２＝０ならば、もちろんそれで正解ですが、この式はｘ^3－３ｘ^2＋２＝０です。３次式です。
３次式はそのように因数分解することはできません。

ではどうすればいいかと言うと、３次方程式や４次方程式では、「因数定理」を使うのが標準的ですね。

「ｆ(ａ)＝０ならば、ｆ(ｘ)は(ｘ－ａ)を因数にもつ」というやつです。
これを使って、因数を見つけて、その因数で割り算をして次数を下げていく。という方針です。

たとえばｘ^3－３ｘ^2＋２に、ｘ＝１を代入してみると、

１－３＋２＝０

で、ちょうど都合のいいことに？ゼロになりました。

ということは、ｘ^3－３ｘ^2＋２は、ｘ－１を因数にもつことがわかります。
ならば、ｘ－１で割れば割り切れるのですね。

割ってみると、(ｘ^3－３ｘ^2＋２)÷(ｘ－１)＝ｘ^2－２ｘ－２となります。
つまり、

ｘ^3－３ｘ^2＋２＝(ｘ－１)(ｘ^2－２ｘ－２)

であることがわかりました。つまり、

　　　ｘ^3－３ｘ^2＋２＝０
(ｘ－１)(ｘ^2－２ｘ－２)＝０

です。
この式が成り立つためには、それぞれの括弧の中がゼロになる必要があるので、

ｘ－１＝０，ｘ^2－２ｘ－２＝０ですね。

あとはこれらを解けば、もとの３次方程式ｘ^3－３ｘ^2＋２＝０の解が得られる。というわけです！

2019-05-16

高校数学「２次関数」「判別式」「２次不等式」

ｘ^2＋ａｘ＋ａ＋３＞０が、ｘの値にかかわらず常に成り立つようなａの値の範囲を求めよ。

この問題について考えます。

単に公式的に解き方を覚えて、当てはめて計算するだけ。というのは良い方法ではありません。
ちゃんとグラフを考えて、その解き方が必然的にそうなる。ことを理解した方が良いです。

「２次不等式がｘの値にかかわらず成り立つ」とはどういう場合でしょうか？

「ｘにどんな値を代入しても、式が成り立つ」ので、「ｘにどんな値を代入しても、常に式の値がプラス」ですね。

ｙ＝ｘ^2＋ａｘ＋ａ＋３という２次関数を考えれば、「ｘの値がいくつでも、ｙの値がプラス」です。

ｘの２乗の係数がプラスなので、この２次関数は下に凸です。
下に凸の放物線でｙの値が常にプラスということは、２次関数のグラフとｘ軸は共有点を持たない。ことを意味します。

だから、判別式Ｄ＜０という条件になるのです。
「Ｄ＜０のとき、放物線とｘ軸は共有点を持たない」でしたね？

だから、「２次不等式が常に成り立つ」ならば、「Ｄ＜０」で解けば良いというわけです。

2019-05-14

高校数学「等式の証明」「恒等式」

「ｘ(ａ＋１)＋ｙ(ｂ－ａ)＝３ｘ＋２ｙがｘ，ｙの値にかかわらず常に成り立つようなａ，ｂの値を求める」ことを考えます。

「常に成り立つ式」＝「恒等式」ですね。

等式は両辺が等しいので、両辺の係数を比較して、ｘの係数同士、ｙの係数同士をイコールで結びます。

ａ＋１＝３，ｂ－ａ＝２ですね。

ａ＋１＝３を解くと、ａ＝２

ａ＝２をｂ－ａ＝２に代入すると、ｂ－２＝２よりｂ＝４

ということで、求めるａ，ｂの値は、ａ＝２，ｂ＝４

ここでは非常に単純な例を挙げてみましたが、どんなに複雑な式になっても、考え方は同じです。

2019-05-13

高校数学「２次関数」「判別式」

「２次関数ｙ＝２ｘ^2－４ｘ＋３のｘ，ｙは実数であることから、２次方程式２ｘ^2－４ｘ＋３－ｙ＝０のｙの取り得る値の範囲を求めよ。」

この問題について考えます。

２次方程式２ｘ^2－４ｘ＋３－ｙ＝０は、２次関数ｙ＝２ｘ^2－４ｘ＋３を移項しただけの式です。

２次関数ｙ＝２ｘ^2－４ｘ＋３のｘ，ｙは座標なので実数です。関数を満たすｘ，ｙの値は、その関数を方程式と見なした場合の解ですね。

ｘはあらゆる実数をとることができるので、２次方程式２ｘ^2－４ｘ＋３－ｙ＝０が実数解を持つ。という条件でｙを含む式を作れば、ｙの取り得る値の範囲がわかる。ということができます。

２次方程式２ｘ^2－４ｘ＋３－ｙ＝０は、ｘについての２次方程式なので、
判別式Ｄ＝ｂ^2－４ａｃに、ａ＝２，ｂ＝－４，ｃ＝３－ｙを代入し、Ｄ≧０で解くと、

ｙ≧１が得られます。

よって、これが、２次方程式２ｘ^2－４ｘ＋３－ｙ＝０のｙの取り得る値の範囲になる。というわけです。

2019-05-09

高校数学「微分」「関数の連続」

数学３の微分の単元では、ときどき「連続」に関する出題があります。

今までやっている多くの関数は「連続」しています。

例えば、普通の２次関数や３次関数は、途中でグラフが途切れたり、値が飛び飛びになったりしていませんね。こういった関数は「連続」しています。

グラフが途切れずつながっている関数を「連続している」と考えます。

「ｆ(ｘ)は、ｘ≦２のとき(ａｘ＋ｂ)／(ｘ－１)，ｘ＞２のときｘ－１」

とすると、ｘ＝２の点を境に、左右で関数が異なっています。しかし、この関数が連続である場合、このｘ＝２のところで途切れずにグラフはつながる。というわけです。

グラフがつながっているならば、「ｘ→２－０の極限値と、ｘ→２＋０の極限値が一致する」ということができます。

意味合いとしては多少不正確ですが、イメージとしては「左側の式にｘ＝２を代入した場合と、右側の式にｘ＝２を代入した場合の値が一致する」と考えられますね！