高校数学「不等式の証明」「相加相乗平均」

ａ＞０のとき、不等式ａ＋１／ａ≧２を証明せよ。

この問題について考えます。

不等式の証明でまず最初に考えるのは、「大きい方－小さい方≧０」ですね。

この場合、ａ＋１／ａ－２≧０を言うことができれば、与式が証明できたことになりますが・・・

ａが大きくなれば１／ａは小さくなるし、ａが小さくなれば１／ａは大きくなるし、ａ＋１／ａ－２≧０を普通に計算して示すのは難しそうですね。

また、ａと１／ａは逆数の関係になっていて、ａ×１／ａ＝１となり、かけ算をするとａが消えます。

このような場合に、「相加平均と相乗平均の関係」を使います。
２つの数をａ，ｂとすると、

(ａ＋ｂ)／２≧√ａｂ

という関係があることが知られています。
左辺が足して２で割ったので「相加平均」、右辺は掛けてルートしたので「相乗平均」です。
言葉で説明すれば、(相加平均)≧(相乗平均)という関係があるということができます。これは「そうなる」ことが知られているので、「公式・定理」と同様に使うことができます。

証明では、この両辺を２倍して

ａ＋ｂ≧２√ａｂ

の形で使うことが多いです。

今回の問題では、ａ＝ａ，ｂ＝１／ａとすれば、相加相乗平均の関係より

ａ＋１／ａ≧２√(ａ×１／ａ)

という式が得られます。
この式の右辺を計算すれば、２√(ａ×１／ａ)＝２×１＝２となります。
つまり、「ａ＋１／ａ≧２」ですね。
よって与式は成り立つ。
ということで証明が完成しました！

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